Inhalt

• Anweisungen
• Wie
• Hinweis

Die Definition von Epsilon-Delta ist eine Demonstration, die die Schüler im ersten Jahr des Berechnungsunterrichts lernen. Diese Definition ist ein klassischer Weg, um zu zeigen, dass sich eine Funktion einem bestimmten Schwellenwert nähert, während sich eine unabhängige Variable einem bestimmten Wert nähert. Epsilon und Delta sind jeweils der vierte und fünfte Buchstabe des griechischen Alphabets. Diese Buchstaben werden traditionell bei der Berechnung von Grenzen verwendet und auch bei Demonstrationsprozessen verwendet.

Anweisungen

Die Epsilon-Delta-Definition wird zum Lösen von Grenzfragen verwendet. (Jupiterimages / Photos.com / Getty Images)

1. Man sollte zunächst mit der formalen Limitdefinition arbeiten. Diese Definition besagt, dass "die Grenze von f (x) L ist, wenn x sich k nähert, wenn für jedes Epsilon, das größer als Null ist, ein entsprechendes Delta vorhanden ist, das größer als Null ist, so dass, wenn der Wert ist der Absolutwert der Differenz zwischen x und k kleiner als Delta ist, ist der Absolutwert der Differenz zwischen f (x) und L geringer als Epsilon. "Informell bedeutet dies, dass die Grenze von f (x) L ist, wenn x sich k nähert, wenn es möglich ist, f (x) so nah wie möglich an L zu machen, indem man sich x an k nähert. Um die Epsilon-Delta-Demonstration durchzuführen, muss gezeigt werden, dass es möglich ist, Delta für eine gegebene Funktion und Grenze in Epsilon zu definieren.

   
   

2. Manipulieren Sie die Anweisung "| f (x) - L | ist kleiner als das Epsilon", bis Sie | x - k | erhalten weniger als ein Wert. Betrachten Sie diesen "irgendeinen Wert" als das Delta. Erinnern Sie sich an die formale Definition und die zentrale Idee, die besagt, dass es notwendig ist, zu zeigen, dass für jedes Epsilon ein Delta existiert, das zwischen ihnen eine Beziehung herstellt, die die Definition wahr macht. Aus diesem Grund ist es notwendig, Delta als Epsilon zu definieren.

3. Beachten Sie die folgenden Beispiele, um zu verstehen, wie die Definition abläuft. Um zu beweisen, dass die Grenze von 3x-1 beispielsweise 2 ist, betrachten wir, wenn x sich 1 nähert, k = 1, L = 2 und f (x) = 3x-1. Um sicher zu sein, dass | f (x) - L | ist weniger als epsilon, do | (3x - 1) - 2 | niedriger als Epsilon. Dies bedeutet, dass | 3x - 3 | ist kleiner als das Epsilon, also 3 | x - 1 | ist auch oder || x - 1 | ist weniger als epsilon / 3. In Anbetracht dessen, dass Delta = epsilon / 3 ist, gilt | f (x) - L | wird immer kleiner als epsilon, wenn | x - k | ist kleiner als Delta.

   
   

Wie

• Der zentrale Teil des Beweises besteht darin, f (x) - L in x - k umzuwandeln. Wenn Sie dieses Ziel im Auge behalten, wird der Rest der Demonstration perfekt stattfinden.

Hinweis

• In einigen Situationen kann die Grenze einer Funktion darauf hinweisen, dass f (x) immer unendlich wird, wenn x gegen unendlich geht. Die Definition von Epsilon-Delta funktioniert in diesen Fällen nicht. In diesen Situationen kann eine ähnliche Demonstration durchgeführt werden, indem zwei große Zahlen, M und N, gewählt werden und gezeigt wird, dass f (x) M überschreiten kann, indem bewirkt wird, dass x N überschreitet, und M kann beliebig groß sein.