Inhalt

• Anweisungen
• Das Integral schreiben
• Das Integral lösen
• Was du brauchst

Der allgemeine Ansatz zur Berechnung bei der Bestimmung von Volumina von Objekten mit gekrümmten Oberflächen basiert auf der Hauptintegrationstheorie. Im Wesentlichen wird das dreidimensionale Objekt in sehr kleine Scheiben unterteilt und das Volumen jeder dieser Scheiben wird mit einer einfacheren Form angefahren. Um das Volumen einer Kugelkappe zu ermitteln, ist die einfachste Formulierung, sich einen Stapel großer, kurzer Zylinder übereinander vorzustellen. Das Volumen wird berechnet, indem die Höhe jedes dieser Zylinder gegen Null geht, wodurch immer genauere Annäherungen erzeugt werden.

Anweisungen

Die gewölbten Dächer vieler Gebäude sind Annäherungen an Kugelschalen (Hemera Technologies / AbleStock.com / Getty Images)

Das Integral schreiben

1. Bestimmen Sie den Durchmesser oder den Radius Ihrer Kalotte an der breitesten Stelle.

2. Bestimmen Sie die Höhe der Kappe.

3. Erhöhen Sie die Zahlen in Schritt 1 und 2 senkrecht und entfernen Sie sie. Teilen Sie diese Zahl durch das Doppelte der in Schritt 2 ermittelten Zahl. Damit erhalten Sie R, den Radius der Kugel, von der die Kappe abgeschnitten wurde.

4. Geben Sie "V =" gefolgt vom Integrationssymbol ein.

5. Subtrahieren Sie die in Schritt 2 von R gefundene Zahl und schreiben Sie diesen Wert in die Basis des Integrationssymbols.

6. Schreiben Sie den Wert von R oben auf das Integrationssymbol.

   
   

7. Geben Sie nach dem Integrationssymbol pi gefolgt von Klammern ein.

8. Erhöhen Sie den Wert von R im Quadrat und schreiben Sie ihn in die Klammern, gefolgt von einem Minuszeichen.

9. Geben Sie nach dem Subtraktionssymbol "x ^ 2" ein. Vervollständigen Sie nach den Klammern das Integral mit "dx".

Das Integral lösen

1. Multiplizieren Sie pi mit den Werten in Klammern, so dass pi * x ^ 2 von einer Konstante abgezogen wird.

2. Berechnen Sie den ersten Term des Integrals, indem Sie die Konstante mit der Höhe der Kugelkappe (R - a, den beiden Grenzen des Integrals) multiplizieren, und bewegen Sie sie aus dem Integral. Die Gleichung sollte jetzt die Form "V = C (Ra) - [Integral definiert von a bis R] pi * x ^ 2 dx" haben, wobei C das Quadrat von R mal pi ist und a R minus a ist Höhe der Kalotte.

3. Der Rest des Integrals ergibt 1/3pi(R3) - 1/3pi(a ^ 3). Somit lautet die endgültige Formel für das Volumen einer Kugelkappe V = C (R - a) - 1/3pi(R3) + 1/3pi(a3) mit C und in Schritt 2 beschrieben und R in Schritt 3 des vorherigen Abschnitts beschrieben.

   
   

4. Ersetzen von R minus der Höhe der Schale (h) durch a, Berechnen der Würfel und Vereinfachen der Berechnungen führt zu V = 1/3pi(3R-h), die algebraische Standardformel für das Volumen einer Kugelkappe.

Was du brauchst

• Bleistift
• Papier
• Rechner (optional)